4. Análise e Síntese na Matemática

Nas demonstrações em matemática, utilizam-se dois procedimentos fundamentais conhecidos como “análise” e “síntese”. Esta distinção era feita na época de Euclides, e foi sublinhada por Papus de Alexandria (c. 300-350 d.C.) em seu comentário dos Elementos.16 Na análise, parte-se de um resultado almejado (o resultado de um teorema) e deduzem-se conseqüências mais elementares; a síntese é o processo inverso, partindo das teses simples obtidas na análise, e deduzindo o resultado em questão.

Nota-se que ambos os procedimentos são dedutivos.

Figura III.4. Construção para mostra que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.

Por exemplo, considere a tese de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. Desenha-se um triângulo de vértices A, B e C. E agora, o que fazer?

Talvez traçar uma reta DE passando por A que seja paralela ao lado BC. Ora, sabemos que a reta passando por A forma o ângulo raso de 180°. Talvez possamos provar que a soma dos ângulos internos seja igual ao ângulo raso. Sim, de fato é fácil ver na Fig. III.4 que o ângulo DAB é igual ao ângulo ABC, e que EAC é igual a BCA. Pronto, terminamos com sucesso a análise do problema! Agora estamos em condição de demonstrar rigorosamente o teorema, partindo do triângulo e da reta DE. Esta etapa é a síntese, e é aquela que aparece nos Elementos.